平面図形（灘中）[S-0001-C]

直角三角形を図のように三角形ABCと三角形DEFに切り分けます。これらの２つの三角形を図のように重ねたとき、斜線部の面積は（　　ア　　）cm²です。（ア）を求めなさい。

まずは目安時間の間、「クリティカルシンキングのトレーニング手順」に沿って考えてください。慣れないかもしれませんが、いつも通りには解かず、必ず思考の手順を守ってください。（※時間に余裕があれば目安時間で区切らず、1時間程度考え続けてもOKです。ただし、完全にお手上げ状態で何も思いつかないのであれば無闇に延長せず、そこで切り上げてください。）

その後（解き終えたら、または目安時間が経過したら）、下にスクロールして解説（思考の例）をじっくり読んでください。

ここでは正解か不正解かが重要なのではなく、問題文をどのように紐解いていくかの目の付けどころと思考の道順が重要であって、そこ（クリティカルシンキング）を鍛えることが今回の目的です。

クリティカルシンキングを習得すれば初見の難問に対応できるようになります。頑張りましょう！

1.目的は何かを常に意識する。
（何を問われているのか？どんな理解を試されているのか？など題意を見抜く。）

• 「斜線部面積の出し方」と「必要な長さがどこか」が見抜けるかどうかを問われているのだな。
• 「必要な長さ」を求める際、今ある条件から「出せる長さ」と「出せない長さ」の見極めをしないとハマってしまうな。

このように、いきなり解き始めるのではなく、まずは客観的に題意の理解に集中することが大切です。

2.前提条件、置かれた環境に合わせて考える。
（思い込みや思考の偏りを排除し、客観的に情報を整理•分析する。）

• 切り取っているので、単純に分かる長さを書き入れる。
• 切り取る前のもとの辺の長さ（形状）も活用する。

ここでは思い込を排除し、事実だけを書き入れて整理することが大切です。

3.目的を踏まえたうえで、「考える枠組み」を考える。
（どんな項目について考えればゴールに到着するかの見当をつける。）

• OQに補助線を入れると、相似形が活用でき、斜線部を左右に２分割して求められそうだ。（まだ決定ではない。）
  →OQの長さが欲しい。しかし、FQ（または辺QC）の長さが分からないので、相似を使っても出ない。

• ORに補助線を入れると、△EFCー△EPOで、斜線部を求められそうだ。（まだ決定ではない。）
  →ORの長さが欲しい。BFが1cmと分かるので、分割前の△ABGと△PBFの相似よりPFとEPの長さは出る。
  →よって、そこから△CEFと△CHGの相似、△OEPと△OHAの相似を使ってORの長さも出せそうだ！（これを方針としよう！）

このように、ここでは2つの方針が見えるが、それぞれの方針の可能性を更に追求し、どちらの方針を優先するかを決めよう。

4.構造的にアプローチする。
（抜け•漏れ•ダブりを防ぎ、原因と結果の関係に注目し、理屈の構造を明らかにする。）

• △PBFと△ABGの相似より、PF＝1/2 cm と分かる。よって、EP=5/2 cm となる。
• 続いて、△CEFと△CHGの相似から、GH＝9/4 cm と分かる。
• すると、AH = ４ + 9/4 = 25/4 cm となる。
• ここで、△OEPと△OHAの相似に注目すると、EP：HA ＝　5/2 : 25/4 = 2 : 5 となる。
• よって、OR＝（4+3) × 2/7 = 2cm となる。
• 斜線部の面積は　(4 × 3 ÷ 2) - (5/2 × 2 ÷ 2) = 6 - 5/2 = 7/2 (cm²)   となる。（以上）

5.問い続ける。
（出た結論に対して「なぜ？」「だから？」「本当に？」と問い続けて見落としや新たな発見につなげる。）

• 相似の基本に立ち返り、1組の長さが分かっている部分に注目して思考する。
• 更に、FC＝4cmと分かってもいる。つまり、点Cから真上に補助線を入れるとよいかも！
• 見えた！△OEPと△OCSが相似だ！
• CSは△BSCと△BPFの直角三角形の相似から5/2cmと出る。
• つまり、△OEPと△OCSは1:1の相似（合同）だ！
• となると、OR（高さ）はFC（4cm）の半分なので2cmと分かる。（暗算レベル）

△CEF＝3 × 4 ÷ 2 ＝ 6cm²
△OEP＝5/2 × 2 ÷ 2 ＝  5/2cm²
斜線部の面積　＝　6 - 5/2 ＝ 7/2 (cm²)

• 点Cから真上に補助線を入れ、交点をSとする。
• △OEPと△OCSが相似。
• 辺CSは△BSCと△BPFの直角三角形の相似から5/2cmと出る。
• つまり、△OEPと△OCSは1:1の相似（合同）。
• となると、辺OR（高さ）は辺FC（4cm）の半分なので2cmと分かる。

△CEF＝3 × 4 ÷ 2 ＝ 6cm²
△OEP＝5/2 × 2 ÷ 2 ＝  5/2cm²
斜線部の面積　＝　6 - 5/2 ＝ 7/2 (cm²)

以上。

※他にも相似を使った色々な解き方があるよ。試してみてね。結果的に一番計算が楽なのは上記の解き方かもしれないね。

• 相似を目的に平行な補助線を入れるには、長さが具体的に分かっている「点」に対して入れないと使えない。
• なるべくシンプルに、手数少なく済むように相似を活用する意識を持つと良い。
• どことどこを比較しているのかを客観的かつ明確にすること。